MATEMATICAS_FINANCIERAS_DIAZ MATTA 5TA ED

Matemáticas
financieras



Matemáticas
financieras

Quinta edición

Alfredo Díaz Mata

Facultad de Contaduría y Administración
Universidad Nacional Autónoma de México

Víctor Manuel Aguilera Gómez
Universidad Iberoamericana
Universidad Nacional Autónoma de México

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
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Editora de desarrollo: Karen Estrada Arriaga
Supervisor de producción: Zeferino García García

MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Quinta edición
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Delegación Álvaro Obregón
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ISBN: 978-607-15-0943-7
ISBN: 978-970-10-5920-3 (de la edición anterior)

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Contenido

Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Capítulo 1 Fundamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exponente cero, negativo y fraccionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Cálculos con logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Redondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Progresiones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Progresiones geométricas infinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.11 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Matemáticas en internet. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Capítulo 2 Interés simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 Introducción y conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Monto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Valor actual o presente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Tasa de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Plazo o tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Tiempo real y tiempo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Descuento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Gráficas de interés simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Ecuaciones de valores equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.11 Aplicaciones, ventas a plazo, tarjetas de crédito, préstamos
prendarios (empeño), pagos anticipados de facturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Matemáticas en internet. Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capítulo 3 Interés compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Monto compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Valor actual o presente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VI      Contenido

3.6 Tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Tasa de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Ecuaciones de valores equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9 Tiempo equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.10 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.11 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.12 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Matemáticas en internet. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Capítulo 4 Anualidades simples, ciertas,
vencidas e inmediatas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1 Introducción y terminología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Tipos de anualidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Monto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6 Plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7 Tasa de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.8 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.9 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.10 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Matemáticas en internet. Anualidades simples, ciertas,
vencidas e inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Capítulo 5 Anualidades anticipadas. . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Monto y valor actual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Renta, plazo, interés y tasa de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Matemáticas en internet. Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Capítulo 6 Anualidades diferidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2 Monto y valor actual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3 Renta, plazo, interés y tasa de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.4 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.5 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Matemáticas en internet. Anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Contenido     VII

Capítulo 7 Caso general de anualidades . . . . . . . . . . . . 191

7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2 Monto y valor actual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3 Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 Tasa de interés y plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.5 Anualidades generales anticipadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.6 Anualidades generales diferidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.7 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.8 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.9 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Capítulo 8 Amortización y fondos
de amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2 Tablas de amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.3 Importe de los pagos en una amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor. . . . . . . . . . 239
8.5 Número de pagos en una amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.6 Tasa de interés en una amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.7 Otros casos de amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.8 Depósitos a un fondo de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.9 Total acumulado en un fondo de amortización y saldo insoluto
de la deuda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.10 Número de depósitos en un fondo de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.11 Tasa de interés en un fondo de amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.12 Comparación entre amortización y fondo de amortización. . . . . . . . . . . . . . 254
8.13 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.14 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.15 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Matemáticas en internet. Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Capítulo 9 Inversión en bolsa de valores. . . . . . . . . . . . 275

9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2 Rendimientos de valores bursátiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.3 Los valores bursátiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.4 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital. . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.5 Rendimiento de valores que pagan intereses (y que también

permiten ganancias de capital). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.6 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Matemáticas en internet. Inversión en bolsa de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Capítulo 10 Depreciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.2 Conceptos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

VIII      Contenido

10.3 Método de línea recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.4 Método de porcentaje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.5 Método de suma de dígitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.6 Método por unidad de producción o servicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.7 Método del fondo de amortización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.8 Depreciación en épocas inflacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.9 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
10.10 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
10.11 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Comprobación del capítulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Matemáticas en internet. Depreciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Capítulo 11 Probabilidades y tablas de mortalidad. . . . . 343

11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.2 Concepto de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.3 Probabilidad matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.4 Probabilidad estadística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.5 Esperanza matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.6 Valor actual de un pago contingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.7 Tablas de mortalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.8 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.9 Uso de Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.10 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Comprobación del capítulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Matemáticas en internet. Probabilidad y tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Capítulo 12 Anualidades contingentes . . . . . . . . . . . . . . 371

12.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.2 Valor actual de un dotal puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.3 Anualidades vitalicias vencidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.4 Anualidades vitalicias anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
12.5 Anualidades vitalicias diferidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.6 Anualidades contingentes temporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.7 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.8 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Comprobación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Términos y conceptos importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Fórmulas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Ejercicios complementarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Matemáticas en internet. Anualidades contingentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Respuestas a los ejercicios de sección impares. . . . . . . 391
Apéndice  Manejo de tablas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

1. Mantisas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Tabla I. Mantisas. Logaritmos base 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Tabla II. Tabla de mortalidad de hombres, México, 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Tabla III. Tabla de mortalidad de mujeres, México, 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Índice analítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Acerca de los autores

El doctor Alfredo Díaz Mata ha sido profesor de matemáticas en la Facultad de Contaduría y Admi-
nistración de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) durante los últimos 35 años.
Tiene estudios de licenciatura en administración, además de una especialización en estadística apli-
cada y una maestría y un doctorado en ciencias de la administración, todos ellos por la UNAM. Se
desempeña también como investigador en la División de Investigación de la Facultad de Contaduría
y Administración desde hace 17 años.

Ha traducido más de 30 textos del inglés al español sobre temas de matemáticas, administración
y finanzas, y es autor o coautor de una decena de libros, entre los que destacan Estadística aplicada
a la administración y la economía, Introducción al mercado bursátil. Invierta en la bolsa de valores y
Matemáticas financieras, el cual se publicó por primera vez hace 25 años y ya va en su quinta edición.
Estos tres textos han sido publicados por la editorial McGraw-Hill/Interamericana.

Su experiencia laboral incluye el diseño y análisis de estudios de mercado en Procter & Gamble
de México y la administración de sueldos y salarios en American Express México.
Víctor Manuel Aguilera Gómez es licenciado en contaduría con especialización en finanzas por la
UNAM y es licenciado en administración de empresas con especialización en mercadotecnia por
la Universidad Iberoamericana (UIA). Cursó estudios de posgrado en comercio internacional en la
Universidad de París I (Panthéon-Sorbonne) y obtuvo el diploma en alta dirección de empresas por
el Instituto Panamericano de Alta Dirección de Empresas (IPADE).

Tiene amplia experiencia en la docencia pues ha impartido cursos de matemáticas básicas, ma-
temáticas financieras, estadística, finanzas, mercadotecnia y dirección, entre otros, a nivel de licen-
ciatura, diplomado y maestría en diversas universidades del país, entre las que destacan la misma
UNAM, donde fue profesor titular por concurso de oposición de las materias de matemáticas básicas
y matemáticas financieras, la UIA (campus Ciudad de México y Saltillo), la Universidad de Colima,
la Universidad de Guanajuato, la Universidad Autónoma de Coahuila, la Universidad Regiomontana
y el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM) (campus Saltillo).

En el campo profesional ha adquirido experiencia principalmente como consultor de empresas
y como especialista de concursos mercantiles (quiebras y suspensiones de pagos), lo que le ha dado
la posibilidad de trabajar con todo tipo de empresas, desde micro y pequeñas, hasta grandes corpo-
raciones.

Prefacio

Las matemáticas financieras se aplican en la vida cotidiana de las personas y las empresas por lo que
resulta necesaria su cabal comprensión pues, además de ser de gran utilidad, con ellas se cometen
errores que repercuten directamente en donde más nos duele, esto es, en el bolsillo. La lectura del
presente texto y la solución de los problemas que en él se presentan permitirán al lector adquirir los
conocimientos necesarios para comprender las implicaciones que tienen las variaciones del valor del
dinero en el tiempo.
Al igual que las cuatro ediciones anteriores, esta quinta edición de Matemáticas financieras tie-
ne como propósito primordial presentar las herramientas matemáticas necesarias para evaluar la
equivalencia del valor del dinero en diferentes periodos y circunstancias de la manera más sencilla
posible, es decir, abordando los temas con la menor complejidad posible.
Con ejemplos didácticos, se lleva al lector paso a paso a la solución de problemas prácticos que
se presentan tanto en la vida personal como en la vida de los negocios. Los problemas están pensados
para que sean resueltos de forma manual o con ayuda de una calculadora electrónica ya que esto
permite que se comprendan cabalmente las circunstancias y la forma de resolver casos reales. Una
vez que se logra esta comprensión, se revisa la utilización de la hoja de cálculo electrónica Excel® de
financieras, lo cual permite, por un lado,
Microsoft®, incluyendo sus funciones ejercitar la resolución
de ejemplos financieros en forma rápida y, en segundo lugar, verificar que los cálculos realizados
manualmente sean correctos. Sin embargo, es necesario recalcar la necesidad de tener una clara
comprensión del planteamiento de los problemas y de la lógica para su solución antes de recurrir a la
hoja de cálculo, pues con la misma velocidad con que se puede obtener la solución correcta a cálculos
complejos, se pueden cometer errores garrafales, provocados por un mal planteamiento o una pobre
comprensión de la lógica de los problemas financieros.
En lo esencial, se han mantenido sin cambios los temas que aborda el texto, precisando única-
mente algunos detalles sugeridos por profesores y estudiantes que lo han utilizado. La estructura
básica se mantuvo como sigue:

• Introducción y conceptos básicos (capítulo 1)
• Interés simple e interés compuesto (capítulos 2 y 3)
• Anualidades (capítulos 4 a 7 y 12)
• Amortización y tablas de amortización (capítulo 8)
• Depreciación (capítulo 10)
• Inversión en bolsa de valores (capítulo 9)
• Probabilidad y tablas de mortalidad (capítulo 11), que es la base del capítulo 12 en el cual se tra-

tan las anualidades contingentes. Aquí, se modificó la tabla de mortalidad de la población mexi-
cana dividida por sexos, en hombres y mujeres, adaptada ahora de la tabla “México: tabla de vida
por sexo y edad desplegada, 2010”, de Alejandro Mina Valdés de El Colegio de México, incluida
en el artículo “La obtención y proyección de tablas de mortalidad empleando curvas spline” de la
X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México, México, D.F., 3-6 de noviembre
de 2010.

En esta edición se revisaron todos los problemas y ejercicios, y se modificaron numerosas can-
tidades y tasas de interés para adecuarlas a las circunstancias que prevalecen en los mercados finan-
cieros.

Por otra parte, se conservaron las principales características de la edición anterior y se actua-
lizaron las secciones de aplicaciones que incluyen algunos capítulos. No todos ellos contienen apli-
caciones porque en algunos no es pertinente (el de introducción es uno de ellos) y en otros hubiera
resultado redundante (como en el de anualidades diferidas o como el capítulo 9 sobre inversiones
bursátiles que está compuesto, prácticamente en su totalidad, de aplicaciones).

Además, se actualizaron las secciones de “Uso de Excel®” de todos los capítulos por, al menos,

dos razones importantes: el uso de computadoras es ya una labor cotidiana tanto en el ámbito laboral

como en la escuela y en el hogar, y Excel® de Microsoft es una herramienta muy útil y ampliamente

Prefacio     XI

difundida. Por otra parte, y tal como puede apreciarse en estas secciones, el uso de Excel® permite

importantes ahorros de tiempo y esfuerzo. Los ejemplos abundan, pero uno notable es en el cálculo
de tasas en aplicaciones de anualidades, en el cual se utilizó la versión 2010 de Excel.

Las secciones con Excel® están referidas casi en su totalidad a los ejemplos que ya se resolvie-

ron en el texto, donde se presentan los conceptos y los procedimientos de cálculo por lo que es fácil
comparar la resolución de los abundantes ejemplos en forma manual (es decir, con calculadora elec-
trónica) y utilizando este popular software.

También se actualizaron las secciones “Matemáticas en internet” que aparecen al final de cada
capítulo, en la cual se proporcionan direcciones de sitios de internet en los que se puede encontrar
material adicional sobre los temas abordados que consideramos resultan de particular utilidad para
los lectores. Cabe mencionar que en esta sección se redujo el número de sugerencias porque se de-
tectó que habían cambiado o desaparecido las que se incluyeron en la edición anterior. Es muy fácil
encontrar material adicional mediante sencillas búsquedas en Google o Yahoo!

Por último, se conserva la introducción a las anualidades crecientes, pues es un tema que cobra
especial interés en el marco de la reforma de los sistemas de pensiones, en virtud de la necesidad de
crear fondos de jubilación que puedan ayudar a tener un retiro digno.

Agradecimientos

Para la realización de este libro hemos contado con la colaboración de un gran número de personas
y a todas ellas les expresamos nuestro agradecimiento; mencionamos en forma especial al ingeniero
Jesús Valdez Cook, catedrático del ITESM Campus Saltillo, del Instituto Tecnológico de Saltillo y de
la Universidad Autónoma de Coahuila, por sus valiosas observaciones y sugerencias; a los catedráti-
cos del ITESM Campus Saltillo; a la licenciada Victoria Valdés Dávila, directora de la licenciatura en
administración de empresas; al contador público Daniel Lozano Casas, director de la carrera de con-
tador público; a la contadora pública Silvia Dávila Valdés, directora de la División de Administración
y Ciencias Sociales y al ingeniero Mario Luis Cruz Vargas, catedrático de la Universidad Autónoma
de Nuevo León, pues realizó una revisión minuciosa del material previo a esta edición.

También deseamos extender un amplio reconocimiento a los numerosos profesores y estudian-
tes de la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México,
a quienes damos las gracias por sus valiosos comentarios y sugerencias que han ayudado a mejorar
las diferentes versiones de este texto, en especial al licenciado en administración Jorge Armando
Arroyo Domínguez.

Vaya también nuestro agradecimiento a las señoritas Ana Luisa Mendoza Luna y Blanca Yesse-
nia Castillo Juárez quienes colaboraron con la mecanografía e integración del material.

Finalmente, pero no menos importante, agradecemos a todo el personal de McGraw-Hill In-
teramericana de México, en especial a Karen Estrada Arriaga, a Marcela Rocha Martínez y a Jesús
Mares Chacón por hacer posible la publicación de este libro.

1Capítulo Fundamentos

■■ Temario ■■ Objetivos

1.1 Exponentes Al finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será
1.2 Leyes de los exponentes capaz de:
1.3 Exponente cero, negativo
• Explicar qué son los exponentes, los logaritmos y los
y fraccionario antilogaritmos
1.4 Logaritmos
1.5 Cálculo con logaritmos • Plantear y resolver problemas que impliquen su uso
1.6 Redondeo • Explicar qué es una progresión aritmética y qué es una
1.7 Progresiones aritméticas
1.8 Progresiones geométricas progresión geométrica
1.9 Progresiones geométricas infinitas • Plantear y resolver problemas que involucren progresiones
1.10 Uso de Excel • Resolver ejercicios de exponentes, logaritmos y progresiones
1.11 Resumen
mediante el empleo de la hoja de cálculo de Microsoft® Excel®

2     CAPÍTULO 1 Fundamentos

1.1  Exponentes
1.1.1  Exponentes enteros positivos

El producto de un número real que se multiplica por sí mismo se denota a × a o aa. Si el mismo
número vuelve a multiplicarse por sí mismo se denota a × a × a o aaa. Para simplificar este tipo de
expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada tal que:

a × a = a2
a × a × a = a3
a × a × a × a × a = a5
en la que al símbolo a se le llama base y al número escrito arriba y a la derecha del mismo se le deno-
mina exponente. Este último indica el número de veces que la base a se toma como factor.
Por lo tanto, podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier número real,
an = a × a × a × º a

n factores

El término an se expresa como “a elevado a la n-ésima potencia”, donde a es la base y n es el ex-
ponente o potencia.

Ejemplo 1.1.1

a) a × a × a × a = a4
b) b × b × b = b3
c) a × a × a × b × b = a3b2
d) (−4)(−4)(−4)(−4) = (−4)4 = 256
e) (−2)(−2)(−2)(6)(6)(6) = (−2)3(6)3 = −1 728
f ) (1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05) = (1 + 0.05)4 = 1.21550625
g) (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + i )3
h) (1 − d)(1 − d) º (1 − d) = (1 − d)n

1.2  Leyes de los exponentes

Si a y b son números reales distintos de cero, y m y n son enteros positivos, entonces se pueden apli-
car las siguientes leyes de los exponentes.

1.2.1  Producto de dos potencias de la misma base

Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base, se debe elevar la base a una potencia
igual a la suma de los exponentes.

am × an = am + n (1.1)

Ejemplo 1.2.1 d ) (-2)2 × (-2)3 = (-2)2 + 3 = (-2)5 = -32
a) a3 × a5 = a3 + 5 = a8 e) (5)(5)2(5)3 = 51 + 2 + 3 = 56 = 15 625
b) a4 × a2 = a4 + 2 = a6 f ) (1 + i)2(1 + i)15 = (1 + i)2 + 15 = (1 + i)17
c) 23 × 23 = 23 + 3 = 26 = 64

1.2.2  Cociente de dos potencias de la misma base

Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base es necesario elevar la base a una poten-
cia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

am = am − n (1.2)
an

1.2 Leyes de los exponentes     3

Ejemplo 1.2.2

a) a5 = a5 − 2 = a3 c) y2 = y2 − 5 = y−3 e) 23 = 23 − 4 = 2−1 = 0.5
a2 y5 24
24
b) x10 = x10 − 4 = x6 d ) 23 = 24 − 3 = 21 = 2
x4

1.2.3  Potencia de una potencia

Para elevar la m-ésima potencia de a a la n-ésima potencia se debe elevar la base a a una potencia
igual al producto de los dos exponentes.

(am)n = amn (1.3)

Ejemplo 1.2.3 d) (−32 )3 = −32 × 3 = −36 = 729
e) (−13 )3 = −13 × 3 = −19 = −1
a) (a2 )3 = a2 × 3 = a6
b) (x3 )5 = x3 × 5 = x15
c) (23)4 = 23 × 4 = 212 = 4 096

1.2.4  Potencia del producto de dos factores

Para determinar la n-ésima potencia del producto de dos factores, se debe encontrar el producto de
cada factor elevado a la n-ésima potencia.

(ab)n = anbn (1.4)

Ejemplo 1.2.4 c) (3x)4 = 34 x4 = 81x4 e) (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100
d) (3x2 )3 = 33 x2 × 3 = 27x6
a) (ab)2 = a2b2
b) (xy)3 = x3 y3

1.2.5  Potencia del cociente de dos factores

Para determinar la n-ésima potencia del cociente de dos factores, es necesario encontrar el cociente
de cada factor elevado a la n-ésima potencia.

a n an (1.5)
b bn
=

Ejemplo 1.2.5

a 2 a2 2 3 23 8
b b2 5 53 125
a) = c) = =

x 4 x4 2a2 3 23 a2 × 3 8a6
y y4 b b3 b3
b) = d) = =

4     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Ejemplo 1.2.6

a) b3 × b4 = b3 + 4 = b7 g) (x4)5 = x4 × 5 = x20
b) x2 × x6 = x2 + 6 = x8 h) (y2)6 = y2 × 6 = y12

c) x5 = x5 − 3 = x2 i) (2a3)4 = 24a3 × 4 = 16a12
x3
2
y15 x3 x3× 2 x6
d) y10 = y15 − 10 = y5 j) y2 = y2× 2 = y4

e) x3y2 = x3− 2 × y2 −1 = xy k) 2x2 y3 = 2 × x2 − 1 × y3 − 1 = 2xy2
x2y xy

f ) (1+ i)5 = (1 + i)5 − 2 = (1+ i)3 l) (2xy )3 = 23 x3 y3 = 23 × x3− 2 × y3− 2 = 8xy
(1+ i)2 ( xy )2 x2 y2

1.3  Exponente cero, negativo y fraccionario

1.3.1  Exponente cero

Si a es un número real diferente de cero, a0 = 1. Esta aseveración puede demostrarse aplicando la
regla del cociente de dos potencias de la misma base. Considere el siguiente cociente:

am =1
am

puesto que todo número dividido entre sí mismo es igual a la unidad. Ahora, si se aplica la regla del
cociente de dos potencias, se tiene:

am = am − m = a0 =1
am

Ejemplo 1.3.1 c) −4x0 = −4(1) = -4 si x π 0
d) 00 = No es aplicable.
a) (5)0 = 1
b) (3a)0 = 1

1.3.2  Exponente negativo

Si n es un entero positivo y a π 0.

a−n = 1 (1.6)
an
y2 = y2 − 5 = y−3
Para comprobar (1.6), observe que, como antes se expuso: y5

y, también: y2 = y× y×y y× y = 1
y5 y×y× y3

Por lo tanto, y2 = y −3 = 1
y5 y3

1.3  Exponente cero, negativo y fraccionario     5

Numéricamente, esta relación puede demostrarse utilizando el siguiente ejemplo:

23 = 23 − 4 = 2−1
24
23
24 = 8 = 1
16 2

Así, 23 = 2−1 = 1
24 2

Ejemplo 1.3.2

a) 33 = 33 − 5 = 3−2 = 1 = 1 c) (1+ i)2 = (1 + i)2 − 5 = (1 + i)−3 = 1
35 32 9 (1+ i)5 (1 + i)3

b) m4 = m4 − 7 = m−3 = 1
m7 m3

1.3.3  Exponentes fraccionarios

Sea a la base de una potencia, y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, entonces:

am/n = n a m = n am
( ) (1.7)

Ejemplo 1.3.3

a) a1/3 = 3 a
b) x1/2 = x

c) y1/n = n y

( ) d) (64)2/3 = 3 642 = 3 64 2 = (4)2 = 16

e) (27)−1/3 = 1 = 1 = 1
(27)1/3 3 27 3

f ) a2 1/2 (a2 − 3 )1/2 = (a−1 )1/2 = a−1(1/2) = a−1/2 = 1 = 1
a3 a1/2 a
=

g) x5/2 = x5/2 − 1/2 = x4/2 = x2
x1/2
h) ( y1/2 )2/3 = y1/2 × 2/3 = y2/6 = y1/3 = 3 y

El uso de calculadoras electrónicas ha simplificado la resolución de problemas aritméticos com-
plejos. En la concepción y manejo de este libro se considera que el estudiante dispone de una calcu-
ladora que posee la función y x que permite obtener logaritmos y antilogaritmos, ya sean naturales o
de base 10.

Ejemplo 1.3.4
Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electrónica.

6     CAPÍTULO 1 Fundamentos

a) 15 = 151/2 = 3.87298335

b) 5 120 = 1201/5 = 2.60517109

c) 3 125.846 × (0.357)2 = 125.846 × 0.127449 1/3 16.03894685 1/3
(15.6)4 (0.674650)5 (59 224.0896)(0.13976313) 8 277.344134
= = 0.12466990

d) 5 000(1 + 0.05)12 = 5 000(1.79585633) = 8 979.281632

e) 1 000 000 1 = 1 000 000(1.60)-5 = 1 000 000(0.09536743) = 95 367.43164
(1+ 0.60)5

f ) (1 + 0.15)20 − 1 = 16.36653739 − 1 = 102.4435826
0.15 0.15

g) 1 − (1 + 0.325)−10 = 1 − 0.05995718 = 2.89243944
0.325 0.325

Ejemplo 1.3.5

Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes con auxilio de una calcu-
ladora electrónica.*

a) 150(1+ i)24 = 450 c) 5 000(1− d)−4 = 1000
450 1 000
(1 + i)24 = 150 (1 − d )−4 = 5 000

(1+ i)24 = 3 1 − d = (0.20)−1/4
−d = (1.49534878) −1
1 + i = 24 3 = 31/24 d = −0.49534878
i = 31/24 − 1
i = 0.04683938 d) (1 + i)12 = (1 + 0.15)4
(1 + i) = (1.15)4/12
b) 2(1+ i)−4 = 1
1 i = (1.15)1/3 − 1
(1 + i)−4 = 2 i = 0.04768955

1 −1/4
2
(1+ i) =

i = (0.5)−1/4 −1

i = 0.18920712

Ejercicios de las secciones 1.1 a 1.3

1. S implifique: c) a2 × a4 × a5 e) (3b) × (5b2) × (6b3)
a) a2 × a5 d) b × b3 × b2
b) a3 × a8 f ) c3
c8

* Cuando utilice la calculadora electrónica debe revisar el manual. En ocasiones le será necesario emplear el inverso
del número.

1.3  Exponente cero, negativo y fraccionario     7

c8 13 3x2 y3 4
c3 x3 2z 2
g)   l) p)

h) a3 × a4 m) (a2b3)4 q) (1.05)4(1.05)10
a5 r) (1.30)2(1.30)10(1.30)20
a2 4
b3 1.30
i) (x3)4  n)
j) x2 × (x5)3
x2 × x3 3
k) (2 y)2 × (4 y3 )4  o) y × y4
(2 y)7

2. S implifique:

a) x0 f ) (a−2 )(a−3 )    l) (27−1/3 )(256)−1/4
g) (b−2 )5 m) (1.05)−4 (1.05)−1/2
b) a0b3 h) (9x−2 )−5
c) a1/3 × a1/2
b3/2 a−3 −1/4
b1/2 b−6
d) i) ( y1/2 )−3   n)
j) (a−2/3 )−3
a1/4a3/5 (x2/3 )3
e) a1/2 k) x −2

3. Simplifique, usando exponentes:

a) x3  c) b2 × b e) a4 −2
b3 (ab3 )−2

( )( )b) 3 x2 x3 d) 3 c2 c5 ( )f ) 3 x2 3/2
3 c6

4. Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electrónica:

a) 32 e) (1+ 0.18)4 −1 h) (1.25)−1 3 (1.30)2
0.18
b) 3 255 i) 0.25 3 0.64 4 0.82
f ) 8500(1+ 0.15)−4

 c) 4 0.485 3 0.36 g) 1− (1 + 0.60)−5 j) (128.35)2
0.60 (25.12)−1/3
27 3 97
d) 4 38

5. Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electrónica.

a) 100(1+ i)2 = 200 f ) (1+ i)4 = 1.60
b) 5 000(1+ i)3 = 1500
 c) 1250(1+ i)60 = 25 000 g) (1 + i)1/4 = 1.18
d) 50 000(1+ i)−20 = 3000 h) (1+ i)10 − 1 = 50
 i) (1+ i)4 = (1+ 0.05)12
e) 10000(1+ i)−4 = 6 000  j) (1+ i)12 = (1+ 0.30)2

8     CAPÍTULO 1 Fundamentos

1.4  Logaritmos

1.4.1  Definición

Sea N un número positivo y b un número positivo diferente de 1; entonces, el logaritmo en base b del
número N es el exponente L de la base b tal que bL = N. El enunciado de que L es el logaritmo en base
b del número N se escribe como

L = logbN

Ejemplo 1.4.1

3 = log2 8 ya que 23 = 8
4 = log3 81 ya que 34 = 81
2 = log5 25 ya que 52 = 25

En la práctica común se utilizan dos tipos de logaritmos: los naturales, cuya base es el número
e = 2.718281829º, y los logaritmos comunes, cuya base es b = 10. Ambos se pueden determinar
fácilmente con ayuda de una calculadora electrónica o mediante tablas.
En seguida se mostrará la utilización de los logaritmos base 10 para simplificar cálculos com-
plejos. Las leyes y procedimientos generales que aquí se tratarán también se pueden aplicar a los
logaritmos naturales, por lo que ambos pueden ser utilizados en forma indistinta.
Los logaritmos base 10 se denominan logaritmos comunes y para identificarlos se utiliza el
símbolo

L = log10N = log N.

Los logaritmos naturales (base e) se simbolizan como sigue:

ln = log nat N = logeN = ln

En lo sucesivo, la palabra “logaritmos” se referirá a los logaritmos comunes (base 10). Por
definición, se tiene:
log 1000 = 3 ya que 103 = 1000
log 100 = 2 ya que 102 = 100
log 10 = 1 ya que 101 = 10
log 1 = 0 ya que 100 = 1
log 0.10 = −1 ya que 10−1 = 0.10
log 0.010 = −2 ya que 10−2 = 0.010
log 0.0010 = −3 ya que 10−3 = 0.0010

Es necesario destacar que N debe ser un número positivo, en tanto que el log N puede ser
cualquier número real positivo, negativo o cero.

1.4.2  Leyes de los logaritmos

Dado que los logaritmos son exponentes de base b, las leyes de éstos les son aplicables y nos dan como
consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos.1

1 Para demostrar estas leyes, considere que: A = 10a, B = 10b y C = 10c
Por lo tanto, log A = a, log B = b y log C = c.
De esto se sigue que A × B × C = 10a × 10b × 10c = 10a + b + c.
10a
A= 10b = 10a − b
B

An = (10a )n = 10an

Con lo que se comprueba que log (A × B × C) = a + b + c = log A + log B + log C

log A = a - b = log A - log B
B
log An = na = n log A

1.4 Logaritmos     9

1. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de los
números

log (A × B) = log A + log B (1.8)

2. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.

log A = log A − log B (1.9)
B

3. El logaritmo de un número elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del número.

log An = n log A (1.10)

donde n puede ser cualquier número real.

Ejemplo 1.4.2

Mediante el empleo de una calculadora electrónica o tablas se determina que:
log 2 = 0.301030   log 3 = 0.477121; entonces:

a) log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 = 0.301030 + 0.477121 = 0.778151
b) log 1.5 = log 3/2 = log 3 − log 2 = 0.477121− 0.301030 = 0.176091
c) log 9 = log 32 = 2 log 3 = 2(0.477121) = 0.954242
d) log 30 = log (3 ×10) = log 3 + log 10 = 0.477121+1 = 1.477121
e) log 0.02 = log (2 ×10−2 ) = log 2 + log 10−2 = 0.301030 + (−2) = −1.698970
f ) log 2 3 = log 31/2 = 1/2 log 3 = 1/2(0.477121) = 0.238561

1.4.3  Característica y mantisa

Todo número positivo puede ser escrito en la forma de un número básico B tal que (1 < B < 10)
multiplicado por una potencia entera de 10. Por ejemplo:

4 354 = 4.354 × 103
65 = 6.5 × 101
3.2 = 3.2 × 100

0.25 = 2.5 × 10-1
0.078 = 7.8 × 10-2
0.00358 = 3.58 × 10-3
Para calcular el logaritmo de un número de éstos se procede como sigue:

Si N = 4 354 = 4.354 ×103
log (4.354 ×103 ) = log 4.354 + log103 = 0.638888 + 3
Si N = 0.00358 = 3.58 ×10−3
log (3.58 ×10−3 ) = log 3.58 + log10−3 = 0.553883 − 3

Ejemplo 1.4.3

Determine el número básico de los siguientes números:

a) 20 000 d) 20 g) 0.02 i) 0.0002
b) 2 000 e) 2  h) 0.002 j) 0.00002
 c) 200   f ) 0.2

10     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Solución:
Puesto que el número básico es un número B tal que 1 < B < 10 multiplicado por una potencia
entera de 10, se tiene:

a) 20 000 = 2 × 104 e) 2 = 2 × 100 h) 0.002 = 2 × 10-3
b) 2 000 = 2 × 103 f ) 0.2 = 2 × 10-1 i) 0.0002 = 2 × 10-4
c) 200 = 2 × 102 g) 0.02 = 2 × 10-2 j) 0.00002 = 2 × 10-5
d) 20 = 2 × 101

Ejemplo 1.4.4

Dado log 2 = 0.301030, determine el logaritmo de los números del ejemplo anterior:
Solución:
P uesto que log 2 = 0.301030 se tiene:
a) log 20 000 = log (2 ×104 ) = log 2 + log 104 = 0.301030 + 4 = 4.301030
b) log 2 000 = log (2 ×103 ) = log 2 + log 103 = 0.301030 + 3 = 3.301030
c) log 200 = log (2 ×102 ) = log 2 + log 102 = 0.301030 + 2 = 2.301030
d) log 20 = log (2 ×101) = log 2 + log 101 = 0.301030 +1 = 1.301030
e) log 2 = log (2 ×100 ) = log 2 + log 100 = 0.301030 + 0 = 0.301030
f ) log 0.2 = log (2 ×10−1 ) = log 2 + log 10−1 = 0.301030 + 1 = 1.301030
g) log 0.02 = log (2 ×10−2 ) = log 2 + log 10−2 = 0.301030 + 2 = 2.301030
h) log 0.002 = log (2 ×10−3 ) = log 2 + log 10−3 = 0.301030 + 3 = 3.301030
i) log 0.0002 = log (2 ×10−4 ) = log 2 + log 10−4 = 0.301030 + 4 = 4.301030
j) log 0.00002 = log (2 ×10−5 ) = log 2 + log 10−5 = 0.301030 + 5 = 5.301030

Como puede observarse en el ejemplo anterior, el logaritmo de un número básico es una
fracción decimal no negativa (ya que log 10 = 1 y log 1 = 0) y el logaritmo de una potencia ente-
ra de 10 es, por definición, un entero. Por lo tanto, el logaritmo de un número positivo estará
constituido por dos partes:
a ) Una parte entera llamada característica. La característica es el logaritmo de la potencia ente-

ra de 10 y está determinada por la posición del punto decimal en el número. La característi-
ca puede ser cualquier número entero, positivo, negativo o cero. Para N > 1, la característica
es igual al número de dígitos a la izquierda del punto decimal menos una unidad. [Véanse
los casos de a) a e) del ejemplo anterior.] Para 0 < N < 1, la característica se determina por
el lugar que ocupa la primera cifra significativa a la derecha del punto decimal. [Véanse los
casos ƒ) a j) del ejemplo anterior].
b ) Una parte decimal llamada mantisa. La mantisa es el logaritmo del número básico y está
determinada por la secuencia de los dígitos del número sin importar la posición del pun-
to decimal. La mantisa es un decimal positivo (o cero, si el número es una potencia entera
de 10).2

2 Debe destacarse que el logaritmo de un número N tal que 0 < N < 1 se mostrará en la calculadora como un solo número ne-
gativo que es el resultado de la suma algebraica de la mantisa positiva y la característica negativa. En estos casos, el resultado
desplegado representa el logaritmo del inverso del número que está calculándose, por lo cual la parte decimal del número ne-
gativo que se muestra no representa la mantisa. Por ejemplo, si

N = 0.02 = 2 × (10-2)
log N = (log 2 × log 10-2) = 0.301030 - 2

la calculadora mostrará -1.698970 que es el resultado de la suma algebraica de 0.301030 - 2. El logaritmo desplegado es el co-
rrespondiente al inverso del número que se está buscando,

10−1.698970 = 1 = 1 = 1 = 0.02
101.698970 5 × 101 50
ya que 0.698970 = log 5 y log 1 = log 10

1.5  Cálculos con logaritmos     11

Ejemplo 1.4.5

Determine la característica y la mantisa de los logaritmos de los siguientes números.
a) 959.84 b) 27.35 c) 0.026 d) 0.004321 e) 6.478

Solución:
Cuando se determina la notación científica de un número, se tiene:

Número Notación científica Característica Mantisa

0 959.84 9.5984 × 102 2 0.982199
27.35 2.735 × 101 1 0.436957
0.026 2.600 × 10-2 −2 0.414973
0.004321 4.321 × 10-3 −3 0.635584
6.478 6.478 × 100 0 0.811441

1.4.4  Antilogaritmos

Si L = log N, N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log N. Por
ejemplo,

200 = antilog 2.301030 ya que log 200 = 2.301030
0.5 = antilog 0.698970 −1 ya que log 0.5 = 0.698970 −1
El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado mediante el empleo de una calcu-
ladora electrónica o por medio de tablas.

Ejemplo 1.4.6

Dado log 8.37 = 0.922725, determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

a) 2.922725 c) 0.922725 − 3 e) 0.922725 − 1
b) 1.922725 d) 3.922725

Solución: d) antilog 3.922725 = 8 370.00
a) antilog 2.922725 = 837.00 e) antilog 0.922725 − 1 = 0.8370
b) antilog 1.922725 = 83.70
c) antilog 0.922725 - 3 = 0.008370

Ejemplo 1.4.7

Utilizando una calculadora electrónica, determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

L = log N N = antilog L L = log N N = antilog L

a) antilog 4.25 = 17 782.79 d) antilog -1.277366 = 0.0528
b) antilog 1.8 = 63.0957 e) antilog -0.132460 = 0.737123
c) antilog -2.356547 = 0.0044 f ) antilog 0.132460 = 1.35662

1.5  Cálculos con logaritmos

Como se estableció al principio del capítulo, los logaritmos han perdido importancia ante el adve-
nimiento de las calculadoras y computadoras electrónicas que permiten la realización de complejas

12     CAPÍTULO 1 Fundamentos

operaciones aritméticas con rapidez y precisión. Sin embargo, aún se utilizan para encontrar la so-
lución de una ecuación.

En esta sección se presenta una serie de problemas resueltos mediante el uso de logaritmos.

Ejemplo 1.5.1

Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos.

85 347 ×15 274 (5.36)2 (67.48)3 3
125 386 (356.27)2
a) b) (0.03768)2(6.354428)6 c) 4

Solución:

a) log 85 347 ×15 274 = log 85 347 + log 15 274 − log 125 386
125 386

= 4.931188 + 4.183953 − 5.098249
= 4.016892

antilog 4.016892 = 10 396.62

b) log [(0.03768)2(6.354428)6] = 2 log 0.03768 + 6 log 6.354428
= 2(−1.423889) + 6(0.803076)
= −2.847778 + 4.818456
= 1.970678

antilog 1.970678 = 93.471239

(5.36)2 (67.48)3 3 (5.36)2 (67.48)3 3/4
(356.27)2 (356.27)2
c) 4 =

log (5.36)2 (67.48)3 3/4 3 (2 log 5.36 + 3 log 67.48 −2 log 356.72)
(356.27)2 4
=

= 3 [2(0.729165) + 3(1.829175) − 2(.2.551779)]
4

= 3 (1.45833 + 5.487525 − 5.103559)
4

= 3 (1.842296)
4

= 1.381722

antilog 1.381722 = 24.083645

Ejemplo 1.5.2
Determine el valor de la incógnita i (que representa tasa de interés por periodo) si 1 000(1 - i)3
= 3 000.

1.5  Cálculos con logaritmos     13

Solución:
a) Siloseg emplean logaritmos: b) Por solución directa:
1000 + 3 log (1 + i) =
log 3 000 1000(1 + i)3 = 3000

3 log (1 + i) = log 3000 − log 1000 (1 + i)3 = 3 000
1 000
log (1 + i) = log 3 000 − log 1000
3
3.477121 − 3 (1 + i)3 = 3
log (1 + i) 3
= 1 + i = (3)1/3

log (1 + i) = 0.159040 i = 1.442249571−1

(1 + i) = antilog (0.159040) i = 0.442249 = 44.22%

1 + i = 1.442249

i = 1.442249 −1

i = 0.442249 = 44.22%

Ejemplo 1.5.3

Determine d (tasa compuesta anual de depreciación) si

900(1 - d)3 = 200

Solución: b) Por solución directa:
a) Si se emplean logaritmos:
900(1− d)3 = 200
log 900 + 3 log (1− d) = log 200 (1− d)3 = 200/900
(1− d)3 = 0.222222
3 log (1− d) = log 200 − log 900
(1− d) = 3 0.222222
log (1− d) = 2.301030 − 2.954243 (1− d) = (0.222222)1/3
3 (1− d) = 0.605706
log (1− d) = −0.217737
−d = 0.605706 −1
(1− d) = antilog ( − 0.217737) d = 0.394293
d ≈ 39.43%
−d = 0.605708 −1

d = 0.394292

d ≈ 39.43%

Ejemplo 1.5.4

Determine el valor de n (número de periodo de conversión) si n son meses y

1000(1 + 0.05)n = 5 000

Solución: log1000 + n log (1+ 0.05) = log 5 000
a) Por logaritmos: n log (1.05) = log 5 000 − log1000


n(0.021189) = 3.698970 − 3.000000

n = 0.698070
0.021189
n = 32.9874

n ≈ 33 meses

El tiempo en que un capital quintuplicará su valor dada una tasa de interés de 5% mensual
es de aproximadamente 33 meses.

Este tipo de problemas sólo puede resolverse mediante el uso de logaritmos.

14     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Ejemplo 1.5.5

Determine el valor de n (número de periodos de conversión) si n representa semestres y

3 500(1 + 0.25)−n = 500
log 3 500 + [−n log (1.25)] = log 500
−n log 1.25 = log 500 − log 3 500
−n(0.096910) = 2.698970 − 3.544068
−0.845098
n = −0.096910

n = 8.72044
n ª 8.72 semestres

Ejemplo 1.5.6

Determine el valor de n (número de pagos periódicos) si n son trimestres y

(1 + 0.18)n − 1 = 10
0.18
Solución:
a) Por logaritmos:

(1+ 0.18)n −1 = 10(0.18)

(1+ 0.18)n −1 = 1.8

(1+ 0.18)n = 1.8 +1

(1.18)n = 2.8

n log 1.18 = log 2.8

n = log 2.8
log 1.18

n = 0.447158
0.07188
n = 6.220723

n ≈ 6.22 pagos trimestrales

Ejemplo 1.5.7

Determine el valor de n (número de pagos periódicos) si n son años y

1 − (1 + 0.50)−n = 25
0.50
Solución:
a) Por logaritmos:

1 - (1 + 0.50)-n = 25(0.50)
-(1.50)-n = 12.5 - 1
-(1.50)-n = 11.5
n log 1.50 = log 11.5

n = log 11.5
log 1.50

n = 1.060698
0.176091
n = 6.023569

n = 6.02 pagos anuales

1.6 Redondeo     15

Ejercicios de las secciones 1.4 y 1.5

6.  Determine el logaritmo L. d) L = log10 = 1/ 100
e) L = log2 = 44
a) L = log3 (27)
b) L = log5 (0.008)
c) L = log8 64

7.  Determine el número N.

a) log2 N = 3  c) log4 N = 1/2 e) log10 N = 2
b) log5 N = 3 d) log6 N = 5

8.  Determine la característica de:

a) 8 c) 85 900 e) 0.018
b) 5 210 d) 3.25 f ) 45.60

9.  Determine la mantisa de:

a) 2 c) 0.020 e) 0.080
b) 0.20 d) 0.040 f ) 8 000

10.  Determine el logaritmo común de:

a) 24 c) 0.005 e) 158 g) 10 000 i) 0.03720
b) 82.320 d) 7.489 f ) 0.0001 h) 1 j) 10.25

1 1.  Dado log 40 = 1.602060, determine el antilogaritmo de:

a) 2.602060 b) 0.602060 c) 0.602060 − 3

12.  Determine el antilogaritmo de:

a) 2.5 c) 3.3640 e) −0.03785
b) 0.80 d) −3.0000 f ) 1.9777

13.  Mediante el empleo de logaritmos, resuelva las operaciones del ejercicio 4.
14.  Mediante el empleo de logaritmos, resuelva las ecuaciones del ejercicio 5.
15.  M ediante el empleo de logaritmos, resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 100(1 + 0.50)n = 500 e) (1.60)-n = 0.100
b) (1.05)n = 3 f ) (1 + 0.18)n - 1 = 0.35
c) 3 000(1 + 0.20)n = 10 000 g) 1 - (1 + 0.04)-n = 0.285
d) 10 000(1 + 0.20)-n = 3 000

1.6  Redondeo

En este libro se utilizarán las siguientes reglas para redondear:
1. El dígito retenido permanece sin cambio si los dígitos despreciados son menores de 5 000.

Ejemplo: 0.13783 se redondea como 0.1378 si se desean 4 cifras significativas.
2. El dígito retenido se incrementa en 1 si los dígitos despreciados son mayores de 5 000. Ejemplo:

0.68917 se redondea como 0.69 si se desean sólo 2 decimales.
3. El dígito retenido se convierte en par (se incrementa en 1 cuando es necesario) si los dígitos des-

preciados son exactamente iguales a 5 000. Ejemplo: 0.235 se redondeará como 0.24 si se desean
2 decimales, en tanto que 0.14325 se redondeará como 0.1432 si se desean 4 decimales.

16     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Ejemplo 1.6.1

Redondee las siguientes cifras a 2 y 4 decimales:

a) 3 0.82207 Dos Cuatro d) 14.5349976 Dos Cuatro
b) 5 .5517627 decimales decimales e) 1.238902 decimales decimales
c) 2 .3562178 f) 1.1130500
30.82 30.8221 14.53 14.5350
 5.55 5.5518  1.24  1.2390
 2.36 2.3562  1.11  1.1130

1.7  Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números
cualesquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada diferencia
común.

1, 4, 7, 10º es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3.
30, 25, 20, 15º es una progresión aritmética cuya diferencia común es −5.

númSeirosedceotnésrimdeinraost1dceolma omeilsmpraim, seergteénremrainuondaepurongarpersoiógnredseiólna,fdorcmoma o la diferencia común y n el

t1, t1 + d, t1 + 2d, t1 + 3dº, t1 + (n - 2)d, t1 + (n - 1)d

El último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de
(n - 1) diferencias:
u1 = t1 + (n - 1)d
(1.11)

En una serie de 3 términos puede verse claramente esto:

t1, t1 + d, t1 + 2d

cia El último tqéuremnin=o3(,t1n+–21d)=e2s.igual al primer término (t1) adicionado de (n - 1) veces la diferen-
común, ya
La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue:

S = t1 + (t1 + d) + (t1 + 2d) + º + (u - 2d) + (u - d) + u
pero también puede escribirse en forma inversa:

S = u + (u - d) + (u - 2d) + º + (t1 + 2d) + (t1 + d) + t1
Si se suman las dos expresiones término a término se tiene:

2 S = ((tt11 + u) + (t1 + u) + º + (t1 + u) + (t1 + u)
2 S = + u) S

= n (t1 + u) (1.12)
2

Así, la suma de una progresión aritmética de n términos es igual a la suma del primero y el último
término multiplicado por n y dividido entre dos.

Sustituyendo (1.11) en (1.12) se tiene:

S = n t1 + t1 + (n −1)d
2

Simplificando: S = n 2t1 + (n −1 )d (1.13)
2

1.7  Progresiones aritméticas     17

Ejemplo 1.7.1

Determine el décimo término y la suma de la siguiente progresión aritmética 3, 7, 11º

Solución:
a) Se determina el último término aplicando (1.11) y se considera: t1 = 3, n = 10 y d = 4.

uu  ==  t31 + (n - 1)d
+ (10 - 1)4

u = 3 + 36
u = 39

b) Para determinar la suma se aplica la fórmula (1.12):

SS  ==  1n0/2/2(t(13++u3)9)


S = 5(42)
S = 210

Una alternativa de cálculo es la fórmula (1.13):

S = n/2[2t1 + (n - 1)d]
S = 10/2[2(3) + (10 - 1)4]
S = 5[6 + (9)(4)]
S = 5(42)
S = 210

Ejemplo 1.7.2
Determine el último término y la suma de la progresión aritmética 48, 45, 42º si cuenta con 15
términos.

Solución: el Para aplicar (1.11) considerando 48, 15
a) S e determina último término. ello se debe que
y d = -3: t1 = n =

u = t1 + (n −1)d
u = 48 + (15 −1)(−3)

u = 48 + (14)(−3)

u = 48 − 42 = 6

b) La suma se determina aplicando (1.12):

S = n/2(t1 + u)
S = 15/2 (48 + 6)
S = 7.5(54)

S = 405

Ejemplo 1.7.3

El primer término de una progresión aritmética es: t1 = -2 mientras que el último es u = 48, y la
suma S = 253. Determine n y d.

Solución:
Sustituyendo en (1.12) se tiene:

18     CAPÍTULO 1 Fundamentos

S = n/2(t1 + u)
253 = n/2 ( − 2 + 48)

(253)(2) = n(46)
n = 506/46 = 11

En (1.11) se sustituyen los datos conocidos y se determina d:
u = t1 + (n −1)d

48 = −2 + (11−1)d
50 = 10d
d = 50/10 = 5

Ejemplo 1.7.4

Conocidos t5 = 27, t7 = 35, determine t1 y S7.

Solución: t7 = t1 + 6d = 35 − 27
t5 = t1 + 4d = 27

Restando la ecuación t5 de t7 se tiene que:
(t1 + 6d) − (t1 + 4d) = 35 − 27

2d = 8
d = 8/2 = 4

Para determinar t1 se sustituye en cualquier ecuación y se tiene:
t1 + 6d = 35

t1 + 6(4) = 35
t1 = 35 − 24
t1 = 11

La suma se determina sustituyendo los valores conocidos en (1.12):

S = n (t1 + u)
2
S7 = 7/2(11 + 35)

S7 = 3.5(46)

S7 = 161

Ejemplo 1.7.5

Se recibe un préstamo bancario de $12 000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensua-
les de $1000 más intereses sobre saldos insolutos a razón de 5% mensual. ¿Qué cantidad de inte-
reses se paga en total?
Solución:
El primer pago que debe hacerse será de $1000 de capital más $600 de intereses (5% de 12 000).
El segundo será de $1000 más $550 (5% de 11000); el tercero de 1000 más 500 (5% de 10 000), y
así sucesivamente.

t1 = 600   d = -50   n = 12

1.8  Progresiones geométricas     19

Aplicando la fórmula (1.13) se tiene:

S = n/2[2t1 + (n −1)d]
S = 12/2[2(600) + (12 −1)(−50)]
S = 6[1200 + (−550)]
S = 6(650)
S = 3900

Deberá pagar $3 900 de intereses.

Ejercicios de la sección 1.7

16.  Determine el último término y la suma de las progresiones siguientes:

a) 11, 23, 35º 12 términos d) 1/4, 1/12, -1/12º 20 términos
b) 5, -3, -11º 10 términos  e) 1.00, 1.05, 1.10º 12 términos
  c) 1/2, 5/8, 3/4º 7 términos

17.  Determine la suma de:

a) Los números pares de 1 a 100
b) Los números nones de 9 a 100
 c) Los números enteros múltiplos de 5, de 10 a 500

18. En una progresión aritmética se tiene:

a) t1 = 886- t05n d==9-n1=/4t8t1n5;0 === 36; determine d, yttt111S0yynySSS81100
b) t5 = 5; determine d,
 c) t3 = 12; determine d,
d) tn = determine t1

19.  Una empresa recibe un préstamo bancario de $30 000 que acuerda liquidar en 10 pagos
semestrales más intereses sobre saldos insolutos de 10% semestral. ¿Qué cantidad total
de intereses debe pagar?

1.8  Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números
consecutivos cualesquiera de ella guardan un cociente o una razón común. En otras palabras, esto
quiere decir que cualquier término posterior se puede obtener del anterior multiplicándolo por un
número constante llamado cociente o razón común.

3, 6, 12, 24, 48º es una progresión geométrica cuya razón común es 2.
−2, 8, −32, 128º es una progresión geométrica cuya razón común es -4.
t, tr, tr2, tr3, tr4º es una progresión geométrica cuya razón común es r.

Tomando el último ejemplo se puede generar una progresión geométrica con 6 términos:

t1, t1r, t1r2, t1r3, t1r4, t1r5

De ella se desprende que el último término es igual a:

u = t1r n - 1 (1.14)

20     CAPÍTULO 1 Fundamentos

y que una progresión con n términos adoptará la forma:

t1, t1r, t1r2 º t1r n - 3, t1r n - 2, t1r n - 1
La suma de esta progresión es igual a:

S = t1 + t1r + t1r2 + º t1r n - 3 + t1r n - 2 + t1r n - 1
Luego, si se multiplican ambos lados de la ecuación por r, se tiene:

rS = t1r + t1r2 + t1r3 +…+ t1rn − 2 + t1rn − 1 + t1rn

Si se resta la segunda expresión de la primera se tiene:

S − rS = t1 + (t1r − t1r) + (t1r2 − t1r2 ) +…+ (t1rn − 2 − t1rn − 2 ) + (t1rn − 1 − t1rn − 1 ) − t1rn

S − rS = t1 − t1rn

Por lo que S(1 − r) = t1 − t1rn

S= t1 − t1rn = t1 (1 − rn )
1−r 1−r

S = t1 (1 − rn ) (1.15)
1−r (1.15’)

Es conveniente utilizar la fórmula anterior cuando r < 1 y la expresión

S = t1 (rn −1)
cuando r > 1. r −1

Una progresión geométrica será creciente si la razón común r es positiva mayor que 1.

Ejemplo 1.8.1

Genere una progresión de 5 términos con t1 = 3 y r = 4.
Solución: 3, 12, 48, 192, 768

Una progresión geométrica será decreciente si la razón común r es positiva menor que 1. 

Ejemplo 1.8.2

Genere una progresión geométrica de 5 términos con t1 = 80 y r = 1/ 4.

Solución: 80, 20, 5, 1.25, 0.3125

Ejemplo 1.8.3

Encuentre el décimo término y la suma de los primeros 10 términos de las siguientes progresiones:

a) 1, 2, 4, 8 b) (1 + 0.04)−1, (1 + 0.04)−2, (1 + 0.04)−3 ...

Solución:
a) Para determinar el décimo término se aplica la fórmula (1.14) con t1 = 1,r = 2 :

u = t1rn − 1
u = 1(2)10 − 1
u = 1(2)9
u = 1(512) = 512

1.8  Progresiones geométricas     21

La suma de la progresión se obtiene aplicando la fórmula (1.15ʹ):

S = t1 (rn −1)
r −1
(210 −1)
S = 1 2−1

S = 110214 −1
S = 1023

b) En la segunda progresión se tiene que:

t1 = (1.04)−1, r = (1.04)−1 y n = 10

Para calcular el décimo término se aplica (1.14):

u = t1rn − 1
u = (1.04)−1[(1.04)−1]10 − 1

u = (1.04)−1(1.04)−9

u = (1.04)−10
u = 0.675564

La suma se determina aplicando la fórmula (1.15) pues r < 1.

S = t1 1− rn
1−r
− [(1.04 )−1 ]10
S = (1.04)−1 1 1 − (1.04)−1

S = (1.04)−1 1 − (1.04)−10 × 1.04
1 − (1.04)−1 1.04

S = (1.04)0 1 − (1.04)−10
1.04 − (1.04)0

S = 1 − (1.04)−10 = 1 − (1.04)−10
1.04 −1 0.04
1− 0.675554
S = 0.04 = 8.110896

Ejemplo 1.8.4

Una progresión geométrica tiene como primero y último términos t1 = 80, tn = 5/4; r = 1/2.
Determine n y S.

Solución:
Sustituyendo los valores conocidos en (1.14):

u = t1rn − 1
5/4 = 80(1/2)n − 1
5/320 = (1/2)n − 1
1/64 = (1/2)n − 1

si se pone 1/64 en función de 1/2, se tiene:

1/64 = (1/2)6 (ya que 26 = 64)

22     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Por lo tanto: (1/2)n −1 = (1/2)6
n−1= 6
n = 6+1
n=7

Se aplica (1.15) para determinar la suma:

S = t1 1− rn
1−r
1 − (1/2)7 0.992188
S = 80 1− (1/2) = 80 0.5

S = 158.75

Ejemplo 1.8.5

Una progresión geométrica cuenta entre sus términos con t3 = 8 y t6 = 512. Determine t8 y S8.

Solución:

Se tiene que tn = t1rn − 1 t3 = t1r2 = 8   y   t6 = t1r5 = 512

De la primera ecuación se despeja t1 = 8 y se sustituye en la segunda ecuación:
r2

8 r5 = 512
r2

8r5 = 512
r2
8r3 = 512

r3 = 512/8
r3 = 64

r = (64)1/3

r=4

Sustituyendo: t1r2 = 8

t1(4)2 = 8

t1(16) = 8

t1 = 8 = 1
16 2

Para determinar t8 se aplica (1.14): u = t1rn − 1
u = 1/2(4)8 − 1

La suma se calcula utilizando (1.15ʹ): u = 1/2(4)7
u = 1/2(16 384)
u = 8192

S = t1 rn −1
r −1
48 −1
S= 1 4−1
2

rn −1 1.8  Progresiones geométricas     23
r −1
S = t1

S= 1 48 −1
2 4−1

S= 1 65 535
2 3

S = 10 922.50

Ejemplo 1.8.6

La inflación de un país se ha incrementado 40% en promedio durante los últimos 5 años. ¿Cuál
es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100 hace 5 años?

S o l u c i ó n : n = 6    t1 = 100    t6 = ?    r = (1+ 0.40)

Aplicando (1.14) se tiene: u = t1rn − 1
u = 100(1.40)6 − 1

u = 100(1.40)5
u = 100(5.37824)
u = 537.82

Puede esperarse que el precio del bien se haya más que quintuplicado en ese periodo dada una
inflación promedio de 40%, puesto que dicha inflación se va calculando sobre la del año anterior,
que a su vez lo fue sobre la del año previo y así sucesivamente.

Ejemplo 1.8.7

La inflación de un país latinoamericano se ha incrementado 4% en promedio durante los últimos
5 años. ¿Cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100 hace 5 años?

S o l u c i ó n : n = 6    t1 = 100    t6 = ?   r = (1+ 0.04)

Aplicando (1.14) se tiene: u = t1rn − 1
u = 100(1.04)6 − 1

u = 100(1.04)5
u = 100(1.2166529)
u = 121.67

Como puede observarse al comparar el resultado de este ejemplo con el del ejemplo inmedia-
to anterior, los efectos de tasas elevadas de inflación son muy importantes, puesto que con una
tasa de inflación anual de 4% el precio del bien se incrementará 21.67% en 5 años, en tanto que
con un incremento anual de 40% los precios se incrementan 437.82% durante el mismo periodo.

Ejercicios de la sección 1.8

20.  Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:

a) 7, 35, 175º 10 términos  c) 2/3, 2/15, 2/75º 15 términos
b) 5, -20, 80º 8 términos d) 3/4, -1/4, 1/12º 12 términos

24     CAPÍTULO 1 Fundamentos

21.  En una progresión geométrica se tiene:

a) t1 = 4 t6 = 972; determine r, t8 y S8

b) t3 = 20 t7 = 1620; determine r, t1 y S7
c) t5 = 8 tn = 0.5 n = 9; determine r, t1 y S8


d) tn = -1/8 r = -1/4 n = 8; determine t1 y S8
e) t1 = 1.04 r = 1.04; determine t12 y S12

22. U n jugador de ajedrez solicitó al rey, después de haberle enseñado este juego, que en
pago le diese 1 grano de trigo por el primer cuadro, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8
por el cuarto y así sucesivamente. ¿Cuántos granos debía darle por el cuadro número 32?
¿Cuántos granos debía darle por los cuadros 1 al 32? Imagine la cantidad si el tablero de
ajedrez tiene 64 cuadros.

23.  Un equipo de cómputo con valor de $10 000 es depreciado cada mes 10% de su valor al
comienzo del mes. ¿Cuál será la depreciación en el 12o. mes?

24. U na persona deposita en un banco $5 000. El banco le paga un interés mensual de 3%
sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes. Si dicho interés se reinvierte
mes a mes en la misma cuenta, ¿qué cantidad habrá reunido al cabo de un año?

1.9  Progresiones geométricas infinitas

Considere la progresión geométrica 1, 1/2, 1/4, 1/8…

cuyo primer término es 1 y cuya razón es r 1/2. La suma de los primeros n términos es

Sn = 1− (1/2)n
1 − 1/2

Sn = 1 − (1/2)n
1 − 1/2 1 − 1/2

Sn = 1 − (1/2)n
1/2 1/2

Sn = 2 − (1/2)n − 1

Para cualquier n, la diferencia 2 -seSdn i=ce(1q/u2e)nS- 1 es positiva, y se reduce a medida que crece n. Si n cre-
ce sin límite (tiende al infinito), se aproxima a 2 como límite.

lím Sn = 2
n→∞

En el caso de una progresión geométrica del tipo

t1, t1r, t1r2, t1r3º

la suma de los primeros n términos puede escribirse como

Sn = t1 1− rn = t1 − t1rn
1−r 1−r 1−r
t1 .
Cuando (-1 < r < 1), si n crece infinitamente, el término en rn tiende a 0 y Sn tiende a 1−r

Así, se dice que

S = 1 t1 r cuando −1<r <1 (1.16)
−

y se le considera la suma de una progresión geométrica infinita.

1.9  Progresiones geométricas infinitas     25

Ejemplo 1.9.1

Determine la suma de la progresión geométrica infinita:
1, 1/3, 1/9, 1/27º

Solución:
Se tiene que t1 = 1, r = 1/3 y ya que (-1 < r < 1 ), se aplica la fórmula (1.16)

(−1 < r < 1)

S = t1 r
1−
1
S = 1 − 1/3

S = 1
2/3
S = 1.5

Ejemplo 1.9.2

Determine la suma de la progresión geométrica infinita:

1, 1 , 1 , 1 , 1…
4 16 64 256

S o l u c i ó n : t1 = 1   r = 1/4   ya que   ( −1 < r < 1)

S = 1 1
− 1/4
1
S = 3/4

S = 4/3

Ejemplo 1.9.3

Determine la suma de la progresión geométrica infinita:

(1 + i)−1 , (1 + i)−2 , (1 + i)−3 , (1 + i)−4

S o l u c i ó n : t1 = (1 + i)−1 y r = (1 + i)−1

Aplicando la fórmula (1.16) se tiene que i)−1
+ i)−1
S = 1 (1 +
− (1

Si se multiplican el numerador y el denominador por (1 + i) se tiene:

S = (1 + i)−1 × (1+ i)
1 − (1 + i)−1 (1+ i)

Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:

S = (1 + i)−1 + 1 = (1+ i)0
(1 + i) − (1 + i)−1 + 1 (1+ i) − (1+ i)0
1
S = (1+ i) −1

S = 1
i

26     CAPÍTULO 1 Fundamentos

Ejemplo 1.9.4

Transforme 0.555555º en una fracción propia.3

Solución:
El número 0.555555º puede escribirse como la suma de 0.50 + 0.05 + 0.005 +º Así, se tiene una
progresión geométrica infinita en la cual t1 = 0.50 y r = 0.10. Aplicando la fórmula (1.16) se tiene:

S = t1 = 0.5 = 0.5 = 5
1−r 1− 0.1 0.9 9

Ejemplo 1.9.5

Transforme 2.533333 a un número mixto.4

Solución:
El número 2.533333º puede escribirse como la suma de 2 + 0.5 + 0.03 + 0.003 + 0.0003º

También puede escribirse como

2 + 5 + 3 + 1 3 + 10 3000º
10 100 000
5
Así, se tiene la suma de un número entero (2), una fracción 10 y una progresión infinita que
tiene como primer término t1 = 0.03 y como razón r = 0.10.

Al aplicar la fórmula (1.16) a la progresión infinita se tiene:

2.533333º = 2 + 5 + 1 t1 r = 2 + 5 + 0.03
10 − 10 1− 0.1

2.533333º = 2 + 5 + 0.03 = 2+ 5 + 3
10 0.9 10 90

2.533333º = 2 + 45 + 3
90
48
2.533333º = 2 90

Ejercicios de la sección 1.9

25.  Determine la suma de las progresiones geométricas infinitas siguientes:

a) 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002º d) 1, -1/4, 1/16, -1/64
b) 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004º e) (1.05)−1 , (1.05)−2 , (1.05)−3 …
c) 1, 1/5, 1/25º

3 Fracción propia es aquella en que el numerador es menor que el denominador. Ejemplos:

1 ; 3 ; 2 ; 8 .
2 4 5 10
Toda fracción propia es menor que la unidad.
4  Fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos:

5 ; 4 ; 7 ; 10 .
2 3 5 9
Toda fracción impropia es mayor que la unidad y puede escribirse con la suma de un número natural más una fracción, dan-
do origen a los números mixtos.
5 2 2 7 1 1
3 =1+ 3 =1 3 .     2 = 3+ 2 = 3 2 .

1.10  Uso de Excel     27

26.  T ransforme en fracción propia o número mixto los siguientes valores:

a) 1.111111º d) 0.353535 g )  2.522222

b) 2.055555º e) 0.777777 h)  1.848484

c) 3.0681818º f ) 0.141414 i)  0.202020

27.  S e deja caer una pelota de hule de una altura de 30 metros. Si cada rebote llega a 2/3 de
la altura de la cual cae, ¿cuántos metros habrá recorrido hasta alcanzar el reposo?

1.10  Uso de Excel

El paquete Excel cuenta con funciones específicas para calcular logaritmos y antilogaritmos natura-
les; cuenta también con una función para calcular logaritmos base 10 y permite asimismo determi-
nar el logaritmo de cualquier número en la base que se quiera elegir.

Estas funciones pueden activarse desde la opción Insertar/Función que se encuentra en el menú
principal de Excel:

o bien oprimiendo el bsuoetólendfexnqoume isnealro“cbalairzraaedne la barra inmediata superior a las celdas de la hoja
de cálculo a la que se comandos”. Una vez que se accesa esta opción, se
selecciona la categoría de funciones Matemáticas y trigonométricas y entre ellas aparecen las rela-
cionadas a exponentes y logaritmos.

28     CAPÍTULO 1 Fundamentos

El uso de estas funciones se ilustra en el siguiente ejemplo:

Para encontrar el antilogaritmo de un número de base distinta al número e, se debe emplear una
fórmula con el siguiente formato:

b ŸL
Donde
b = base
Ÿ = símbolo de exponenciación
L = logaritmo

En los ejemplos que se ofrecen en la imagen anterior, se muestran las fórmulas para calcular el
antilogaritmo del número 2 con base 2 y 10. Así, el antilogaritmo se determina como sigue:

Antilogaritmo de 1 en base 2:

Fórmula Resultado
= 2Ÿ1 2

Antilogaritmo de 0.301029995663981 en base 10:

Fórmula Resultado
= 10Ÿ0.301029995663981 2

Excel puede ser también de utilidad para construir progresiones aritméticas y geométricas, pues per-
mite probar de manera rápida y sencilla los valores de ellas una vez que se conocen los valores de t
y d en el caso de las progresiones aritméticas, así como los valores de y en el caso de las progre-
siones geométricas. t1 r

1.11 Resumen

En este capítulo se han estudiado tres temas que resultan bá- presa en su forma general como an donde a es la base y n el
sicos para comprender y manejar las matemáticas financieras. exponente.
a) Los exponentes y sus leyes.
b) Logaritmos y antilogaritmos. Las operaciones que involucran exponentes están regidas
 c) Progresiones: aritméticas y geométricas. por las siguientes leyes:

Un exponente nos indica el número de veces que un va- 1. am × an = am + n 3. (am )n = amn
lor llamado base debe multiplicarse por sí mismo, y se ex- am 4. (ab)n = anbn
2. an = am − n

Fórmulas importantes     29

5. a n = an 7. a−n = 1 Así, al aplicar logaritmos, la multiplicación de dos núme-
b bn an ros se convierte en la suma de sus logaritmos, un cociente en
una resta y una potencia en una multiplicación.
6. a0 = 1 ( )8. am/n = n a m = n am
Una progresión aritmética es una sucesión de números
Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una llamados términos, tales que cualesquiera dos números con-
base para obtener un número determinado. secutivos de la sucesión están separados por una misma can-
tidad llamada diferencia común.
bL = N
Como exponentes que son, los logaritmos se sujetan a las Las progresiones aritméticas son la base teórica del inte-
leyes que los rigen y, en virtud de ello, son de gran utilidad rés y del descuento simples.
para simplificar cálculos aritméticos.
Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de Las progresiones geométricas son, a su vez, la base del in-
la aplicación de las leyes de los exponentes. terés compuesto y las anualidades, y se definen como una
sucesión de números llamados términos, tales que cuales-
1. log (A × B) = log A + log B quiera dos números consecutivos de la misma guarden un
cociente o razón común.
2. log A = log A − log B
B En una progresión geométrica cualquier número poste-
rior se puede obtener del anterior multiplicándolo por un
3. log An = n log A número constante llamado cociente o razón común.

Comprobación del capítulo • Efectuar cálculos utilizando logaritmos.
• Comprender el concepto de progresión aritmética.
Si ha leído el capítulo completo, el lector debe: • Comprender el concepto de progresión geométrica.
• Comprender el concepto de exponente. • Comprender el concepto de progresión geométrica in-
• Conocer y aplicar las leyes de los exponentes.
• Comprender el concepto de logaritmos. finita.
• Determinar el logaritmo común de un número. • Resolver ejercicios que involucren exponentes, logaritmos
• Comprender el concepto de característica.
• Comprender el concepto de mantisa. y progresiones utilizando la hoja de cálculo Microsoft
• Conocer y aplicar las leyes de los exponentes. Excel.
• Determinar el antilogaritmo de un logaritmo.

Términos y conceptos importantes

• Antilogaritmo • Exponente • Mantisa
• Base • Exponente cero • Progresión aritmética
• Característica • Exponente fraccionario • Progresión geométrica
• Cociente o razón común • Exponente negativo • Progresión geométrica infinita
• Diferencia común • Logaritmo

Fórmulas importantes

Exponentes (am)n = amn (1.3)
(ab)n = anbn (1.4)
am × an = am + n (1.1)
(1.2) a n = an (1.5)
am = am − n b bn
an

30     CAPÍTULO 1 Fundamentos

a−n = 1 (1.6) S = n [2t1 + (n − 1)d] (1.13)
an (1.7) 2
(1.14)
am/n = n am (1.8) (1.15)
(1.9) (1.15’)
Logaritmos (1.10) Progresiones geométricas
log (A × B) = log A + log B (1.16)
(1.11) u = t1rn - 1
log A = log A − log B (1.12)
B S = t1 (1 − rn ) para r < 1
1−r
log An = n log A
S = t1 (rn −1) para r > 1
r −1

Progresiones aritméticas Progresiones geométricas infinitas
u = t1 + (n - 1)d

S = n (t1 + u) S = 1 t1 r cuando (−1 < r < 1)
2 −

Ejercicios complementarios

1. Simplifique. j) (3x2 )4 (x3 )5 g) ( y−2 )3 k) ( y−4/7 )( y−4/7 )7
a) ax4 × a3x5 (9x4 )(9x4 )2 h) ( y−3 )−5( y2 )−2 y −1/5

b) a2 y5 × b2 y5 k) 5x 3 l) (125−1/5 )(125)−2/5
 c) a3x4 × a2 y3 × x2 y6 x2
d) (3x5 )(5x2 )(2x6 )
 l) (x3 y5 )2 i) (a−1/4 )−2 m) (1+ 0.075)−5 × (1+ 0.075)

m) x3 2 j) (a−2/5 )   n) (1.60)−4 × (1+ 0.60)−1
y5 (1.60)0

 e) y2 n) x2 y3 × x2 y4 3 3 Simplifique hasta la mínima expresión.
y y5 × y2
a ) -5(5)-2 = h) (−64)2/3 =
2z5 3
f ) y5  o) x3 y5 b ) −4a−2 =    i) (64)−2/3 =
y6

g) (x 2 y3 ) × (xy5 ) p) (1+ 0.06)3 × (1+ 0.06)12 c ) (−4a)−2 =    j) (−64)−2/3 =
y4 × y3
(−2a)4 × 2a−2/4 −1/3 1 −1
(1.80)5 × (1.80)3 × (1.80)2 (2a)−2 × a2/4 ( )k) (a−3 )1/6
h) (d2 )5 q) (1.80) d) = 27a3 × =

 i) (i3 )3 × (i2 )3 −4 2
2. Simplifique.
×
(( )) (( )) e) x −2 x1/4 8 x3 y−3z −3 1/3 1/2
4= ( )  l)
x1/2 −4 x −2/4 =

b1/5 ×
b1/4
a) 10 d) f ) 40 − 2−4 = m) a−1 + b−1 =
4 − 2(4)−2 a−1b−1
b3/4 × b6/8 1/4
b1/4
b) (5a)0 × (3a2)0 e) 2x −2 −1/2 64x3 −1/3
c) b1/5 × b1/4 4x2 27 y3
f) (x−2 )(x−5 )(x3 ) g ) (64)2/3 = n) + =

Ejercicios complementarios     31

( ) o) −1/3 1 0. Determine el logaritmo común de:
−8x3
= a) 318 f ) 1000 000
b) 600 g) 45 372 000
(a −1)5 x2 2/3 3ax1/6 − 3x1/6 2  c) 8 524 h) 0.0000045
d) 0.375  i) 35.5
p) ×  e) 7.32  j) 40

x1/6 =
6 −3 −2
x3 y1/2 3a1 /4b3 a1/4b
q) × × a1/4b −1 × xy2x3/4 y4 1/2

27 = 1 1. Determine el antilogaritmo de:

4. Simplifique. c) a3 × 2 a4 a) −1.301030 f ) 2−.602060
a) x2 y3 5 a10 b) 1.301030  g) −0.901090
 c) −1.301030 h) 3.275
b) 3 y−3 4 x5 −3 d) 0   i) 2.2335
e) 4.25   j) 0.901090

d) b3 × 3 a2b5 12. Exprese las siguientes relaciones con un solo logaritmo.
4 a3b7
a) (log 4) − (log 6) + (log 10) =

5. Determine el valor de las incógnitas en las siguientes ecua- b) (4 log 2) − (6log 3) + log 23 =

ciones.  c) ( 1 log 16) − ( 13 log 64) + ( 13 log 27) =
2
a) 5x + 1 = 32x e) 250 = 5 (1 + 0.01)y −1 d) (log 5) −1 =
b) (1+ 0.02)n = (10.765163)1/2 0.01
e) (log 5 −1) =
 c) 1002/x = (1 + 0.1)x f ) 250 = 51 − (1 + 0.01)−n f ) (log 10) − (log 5) + (log 20) =
0.01
d) 500 (1+ 0.04)x −1 = 3000 13. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales me-
(1 + 0.04)1/4 −1 diante el empleo de logaritmos:

6. Determine el logaritmo L. a) 1(1 + 0.80)n = 10 e) 1(1 + 0.75)−n = 0.10

a) L = log2 (512)  c) L = log5   5 3125 b) (1 + 0.75)n = 5 f ) 100(1 + 1.00)−n = 1

c) 1000(1 + 0.075)n = 10 000 g) (1 + 0.20)n = 2

b) L = log4   1 d) L = log10   10 000 d ) 1(1 + 0.50)−n = 0.10 h) 1 − (1 + 0.05)−n = 0.5
64
14. Determine la suma de las siguientes progresiones.

7. Determine el número N. a) 50, 60, 70, 80, 90, 100

a) log2 N = 0 d) log9 N = 1/2 b) 32, 24, 16, 8
b) log3 N = -3 e) log10 N = 0
 c) log5 N = -1 f ) log10 N = 3/2 c) 14 , 3 , 1 , 5 , 3
8 2 8 4

d) − 1 , − 1 , − 1 , − 5 , − 1 , − 7
6 4 3 12 2 12
8. Determine la característica de:
15. ¿Qué cantidad de intereses pagará un tarjetahabiente
a) 125 f ) 35.4 bancario si adeuda $8 800 y los liquidará en 11 pagos
b) 347 250 g) 1 348 mensuales más intereses sobre saldos insolutos a razón
 c) 0.0000578 h) 40 de 5% mensual? ¿Cuál será el importe del último pago?
d) 4.75862475 i) 172.35
e) 0.3 j) 1.0005 16. Determine el último término y la suma de las siguientes
progresiones.

9. Determine la mantisa de: f ) 0.50 a) 5, 40, 320º 5 términos
a) 3 g) 4 8 términos
b) 30 h) 1.60 b) −3, 12, −48º 7 términos
c) 300 i) 9 1 1 1
d) 3 000 j) 2 700  c) 7 , 49 , 343 … 10 términos
e) 0.0003
d) 2 , − 2 , 2 …
3 9 27

32     CAPÍTULO 1 Fundamentos

17. Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro a) 5, 0.5, 0.05, 0.005º
que paga 3% de interés mensual, con el fin de costear los b) 1, 1/10, 1/100º
estudios profesionales de su hijo de 8 años. Inicia el fon- c) -1, 1/10, -1/100º
do con $500 y determina depositarle el doble del saldo d) (1 + 0.50)0, (1 + 0.50)−1, (1 + 0.50)−2º
existente en cada cumpleaños de su hijo hasta que éste 21. El señor Pérez debe $8 000. Toma la decisión de pagar
cumpla dieciocho años. ¿Qué cantidad deberá depositar
en el decimoquinto aniversario? ¿Qué cantidad debe- $800 al final de cada 6 meses para disminuir la deuda,
rá depositar en el decimoctavo año? ¿Cuánto dinero ha- pero, además, debe pagar 2% por concepto de intereses.
brá depositado al finalizar el año número dieciocho? ¿Cuál será el interés total que debe pagar?
22. ¿Cuál será el tiempo que empleará una persona en sal-
18. La moneda de un país se ha devaluado, respecto al dólar, dar una deuda de $2 000 si paga $250 la primera semana,
a razón de 2% mensual durante el último año. Suponien- $260 la segunda, $270 la tercera y así sucesivamente?
do que este factor de devaluación se mantuviera cons- 23. Una máquina con un costo inicial de $40 000 se deprecia
tante durante el próximo año, ¿cuál será la paridad de a una tasa de 5% anual sobre el valor contable al inicio del
dicha moneda al cabo de 12 meses si actualmente es de ejercicio. ¿Cuál será su valor contable al final del 5o. año?
100 unidades por un dólar? 24. Una investigación arrojó que la población de una ciudad
se incrementará 8% anual durante 5 años. Calcule el por-
19. Bajo el supuesto de una tasa de inflación de 2% mensual centaje total en que aumentará la población al final de los
constante, ¿cuál será el poder adquisitivo de $1 al cabo de cinco años.
12 meses?

20. Determine la suma de las progresiones geométricas si-
guientes.

Matemáticas en internet. Fundamentos

Existen numerosos sitios en internet relacionados con los • Página en la cual se ilustra la forma en que se utiliza la no-
temas que se abordan en este capítulo. Por ejemplo, una bús- tación científica con números muy grandes y con números
queda en Google de “sucesiones y progresiones” arroja 10 500 muy pequeños.
resultados, mientras que esa misma búsqueda en Yahoo! pro- http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/notacion-
duce 224 000 resultados. Por otra parte, en YouTube existen cientifica.html
4 382 videos que abordan este tema. En esta sección se mues-
tran sólo unos cuantos ejemplos de sitios útiles relacionados • Video en el cual se ilustra cómo elevar un número a una
con los temas tratados. potencia, utilizando tres tipos diferentes de calculadoras
científicas.
1.1  Exponentes http://youtu.be/1MM5fA08jOM

• Información y ejemplos sobre exponentes y radicales. 1.4  Logaritmos
http://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.html
• Definición y propiedades de los logaritmos.
1.2  Leyes de los exponentes http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/logarit-
mos.htm
• Leyes de los exponentes presentadas de una manera amena.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes- • Explicación sobre logaritmos, antilogaritmos y ejercicios
leyes.html resueltos.
http://www.vitutor.net/1/12.html
• Información y ejemplos sobre exponentes y radicales.
http://www.galeon.com/student_star/expyrad01.htm 1.7  Progresiones aritméticas
y 1.8 Progresiones geométricas
1.3 E xponente cero, negativo y
fraccionario • Aplicación que permite generar los términos, el último
término y la suma para progresiones tanto aritméticas
• Exponentes especiales: exponente cero, exponentes negati- como geométricas.
vos y exponentes fraccionarios. http://132.248.129.43/~lugo/bach2/Sucesiones/index.html
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas15.htm

Matemáticas en internet. Fundamentos     33

• Presenta un desarrollo muy completo, más extenso que el pentagonales, 2) leyenda del inventor del ajedrez (que, por
abordado en el texto, con relación a sucesiones y progre- cierto tiene un error en los cálculos, ¿puede usted detectar-
siones. lo?), 3) “A vueltas con los bancos”, una aplicación financiera,
www.vitutor.com/al/sucesiones/res.html 4) las progresiones y el crecimiento de la población; teorías
de Malthus, 5) la sucesión de Fibonacci y el número áureo,
• Documento que, aparte de repasar los conceptos básicos de 1
ambos tipos de progresiones, tiene una parte muy intere- y 6) la sucesión 1+ n n y el número e.
sante de aplicaciones titulada “Algunos problemas para re-
frescar las ideas” y que trata aplicaciones sobre 1) números www.unizar.es/ttm/2005-06/PROGRESIONESII.pdf



2Capítulo Interés
simple

■■ Temario ■■ Objetivos

2.1 Introducción y conceptos básicos Al finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será
2.2 Monto capaz de:
2.3 Valor actual o presente
2.4 Interés • Explicar los conceptos de interés simple, tiempo, capital, monto,
2.5 Tasa de interés valor actual, tasa de interés, interés, descuento y ecuaciones de
2.6 Plazo o tiempo valores equivalentes
2.7 Tiempo real y tiempo aproximado
2.8 Descuento • Distinguir y explicar la diferencia entre descuento real y
2.9 Gráficas de interés simple descuento comercial, así como entre tiempo real y tiempo
2.10 Ecuaciones de valores equivalentes aproximado
2.11 Aplicaciones. Ventas a plazo. Tarjetas de crédito. Préstamos
• Plantear y resolver ejemplos de cálculo de tasa de interés,
prendarios (empeño). Pagos anticipados de facturas tiempo, capital, monto, valor actual y descuento a interés
2.12 Uso de Excel simple
2.13 Resumen
• Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores
equivalentes a interés simple

• Resolver ejercicios y aplicaciones de interés simple utilizando
la hoja de cálculo de Microsoft® Excel®

36     Capítulo 2  Interés simple

2.1  Introducción y conceptos básicos

Suponga la siguiente situación:
El señor López obtiene un préstamo por $20 000 que solicitó a un banco, y acuerda pagarlo

después de dos meses, entregándole al banco $20 400. Este caso permite ejemplificar una operación
en la que interviene el interés simple. El supuesto fundamental del cual se parte es que el dinero au-
menta su valor con el tiempo: el señor López obtuvo inicialmente $20 000 y pagó, dos meses después,
$20 400, esto es, los $20 000 que le prestaron más $400 de interés que, de acuerdo con el supuesto
básico, es la cantidad en que aumentó el valor del préstamo original en dos meses. Desde el punto de
vista del banco, esos intereses son su ganancia por el hecho de haber invertido su dinero en el prés-
tamo, y desde el punto de vista del señor López, son el costo de haber utilizado los $20 000 durante
dos meses.

Los elementos que intervienen en una operación de interés son, de acuerdo con el mismo ejemplo:

C = el capital que se invierte = $20 000
t = el tiempo o plazo = dos meses
I = el interés simple = $400
M = el monto = capital más intereses = $20 400
i = la tasa de interés

La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital; en el ejemplo,

i = 400 = 0.02
20 000

Si se le multiplica por 100, este cociente indica que el capital ganó 2% de interés en dos meses,
pues $400 es 2% de $20 000. Luego, para convertir a la misma base, se acostumbra expresar tanto la
tasa de interés i como el tiempo t en unidades de año, por lo que, según el ejemplo, t = 2 meses, y si
el año tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades de año es:

t  =  2/12 = 1/6

Y la tasa de interés, si es de 0.02 por bimestre, en 6 bimestres será:

i   =  0.02 (6) = 0.12 o, expresado en porcentaje,
0.12 × 100  = 12% anual

La tasa de interés se puede expresar de dos maneras:

a) En decimales: 0.12.
b) En porcentaje: 12%.

Es importante observar que ambas son sólo expresiones distintas de lo mismo, sólo que la pri-
mera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresión porcentual es la que más
se utiliza cuando se le maneja verbalmente. Además, también es de uso común hablar de ta-
sas porcentuales de interés (por ejemplo: “con una tasa de 9% anual”).

En resumen, y abundando sobre el ejemplo,

C  = $20 000
I = $400
t = 1/6
i = 0.12
M = $20 400

y se puede observar que, en general, el monto es igual al capital más los intereses:

M = C + I (2.1)
20 400 = 20 000 + 400

y el interés es igual al capital multiplicado por la tasa y por el tiempo:

I = C i t (2.2)
400 = 20 000 (0.12) (1/6)